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范畴论完全装逼手册 / Grokking Monad

第一部分:猫论Catergory Theory

1920px-De_Alice's_Abenteuer_im_Wunderland_Carroll_pic_23_edited_1_of_2.png https://en.wikipedia.org/wiki/Cheshire_Cat

`But I don’t want to go among mad people,’ Alice remarked.

`Oh, you can’t help that,’ said the Cat: `we’re all mad here. I’m mad. You’re mad.’

`How do you know I’m mad?’ said Alice. `You must be,’ said the Cat, `or you wouldn’t have come here.’

Alice didn’t think that proved it at all; however, she went on `And how do you know that you’re mad?’

– Alice's Adventures in Wonderland

单子Monad是什么? 你也不懂, 我也不懂, 我们都不懂.

话说, 我又怎么知道你不懂呢?

当然不懂, 不然, 你怎么会来到这里?

我又是怎么知道自己不懂呢?

因为, 我知道懂的人什么样子. 显然, 我不是.

懂的人一定知道猫论 Category Theory.

懂猫论的人又不一定知道编程. 但是懂编程的人可以略懂猫论.

编程是项技术, 即理论的降维. 所以要降低门槛, 比如我在书中也写过一章用JavaScript来解释,某人也尝试过写博客解释 如果没看就刚好不要看了, 确实有些误导 没想到那些也不知道会不会 Haskell/Scala 的人就跑出来喷你们前端 等等, 写前端怎么了? JavaScript 只是我觉得顺手的若干语言之一, JS用户那么多, 写书当然要用 JS 啦, 难道用 Idris 那还能卖得掉吗? 当然最后用JS也没怎么卖掉… 这些不懂函数式的渣渣乱搞出来的东西根本就不是单子。

我也画过一些图来解释,又会被嫌弃画风不好。但是,作为灵魂画师,我只 是觉得自己萌萌的啊 在乎画的灵魂是否能够给你一点启发。好吧,讲这么学术的东西,还是用dot来画吧,看起来好正规呢。

好了,安全带系好,我真的要开车了。为了防止解释的不到位又被喷,就用 Haskell/Scala 好了 并不是说这两门语言一定在鄙视链顶端, 而是拥有强大类型系统的语言才能体现出范畴论的内容 ,其实也不难解释清楚 才怪

这里面很多很装逼的单词,它们都是 斜体 ,就算没看懂,把这些词背下来也足够装好一阵子逼了买一阵子萌了

这里还有很多代码, 它们都成对出现, 第一段是 Haskell, 第二段是 Scala.

Category

一个 范畴Category 包含两个玩意

  • 东西 O (Object)
  • 两个东西的关系,箭头 ~>态射Morphism

还必须带上一些属性:

  • 一定有一个叫 id 的箭头,也叫做 1
  • 箭头可以 组合 compose

恩, 就是这么简单!

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Figure 1: 有东西 a, b, c 和箭头 f, g 的 Category,其中 f . g 表示 compose f 和 g

注意到为什么我会箭头从右往左,接着看代码, 你会发现这个方向跟 compose 的方向刚好一致!

这些玩意对应到 haskell 的 typeclass 大致就是这样:

class Category (c :: * -> * -> *) where
  id :: c a a
  (.) :: c y z -> c x y -> c x z

而 Scala 可以用 trait 来表示这个 typeclass:

trait Category[C[_, _]] {
  val id[A]: C[A, A]
  def <<<(a: C[Y, Z], b: C[X, Y]): C[X, Z] 
}

如果这是你第一次见到 Haskell 代码,没有关系,语法真的很简单 才怪

  • class 定义了一个 TypeClass, Category 是这个 TypeClass 的名字
  • Type class 类似于定义类型的规范,规范为 where 后面那一坨
  • 类型规范的对象是参数 (c:: * -> * -> *):: 后面是c的类型
  • c 是 higher kind * -> * ,跟higher order function的定义差不多,它是接收类型,构造新类型的类型。这里的 c 接收一个类型,再接收一个类型,就可以返回个类型。
  • id:: c a a 表示 c 范畴上的 a 到 a 的箭头
  • . 的意思 c 范畴上,如果喂一个 y 到 z 的箭头,再喂一个 x 到 y 的箭头,那么就返回 x 到 z 的箭头。

另外 compose 在 haskell 中直接是句号 .

scala 中用 <<< 或者 compose

总之, 用文字再读一遍上面这些代码就了然了.

范畴 C 其实就包含

  1. 返回 A 对象到 A 对象的 id 箭头
  2. 可以组合 Y 对象到 Z 对象 和 X 对象到 Y 对象的箭头 compose

简单吧hen nan ba?还没有高数抽象呢。

Hask

Haskell 类型系统范畴叫做 Hask

在 Hask 范畴上:

  • 东西就是类型
  • 箭头是类型的变换,即 ->
  • id 就是 id 函数的类型 a -> a
  • compose 当然就是函数组合的类型
type Hask = (->)
instance Category (Hask:: * -> * -> *) where
  (f . g) x = f (g x)

我们看见新的关键字 instance ,这表示 Hask 是 Type class Category 的实例类型,也就是说对任意Hask类型, 那么就能找到它的 id 和 compose

implicit val haskCat: Category[Hask[_, _]] = new Category[Hask] {
  val id[A] = identity[A]
  def <<<[X, Y, Z](a: Hask[Y, Z], b: Hask[X, Y]) = a compose b
}

Scala 中, 只需要 new 这个 trait 就可以实现这个 typeclass

其中: identity Hask a a 就是

(->) a a -- or
a -> a -- 因为 -> 是中缀构造器
A => A

Duel

每个 Category 还有一个镜像,什么都一样,除了箭头是反的

函子 Functor

两个范畴中间可以用叫 Functor 的东西来连接起来,简称 T。

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Figure 2: Functor C D T, 从 C 到 D 范畴的Functor T

所以大部分把 Functor/Monad 比喻成盒子其实在定义上是错的,虽然这样比喻比较容易理解,在使用上问题也不大。但是,Functor 只是从一个范畴到另一个范畴的映射关系而已。

  • 范畴间 东西的 Functor 标记为 T(O)
  • 范畴间 箭头的 Functor 标记为 T(~>)
  • 任何范畴C上存在一个 T 把所有的 O 和 ~> 都映射到自己,标记为id functor 1C
    • 1C(O) = O
    • 1C(~>) = ~>
class (Category c, Category d) => Functor c d t where
  fmap :: c a b -> d (t a) (t b)
trait Functor[C[_, _], D[_, _], T[_]] {
  def fmap[A, B](c: C[A, B]): D[T[A], T[B]]
}

Functor c d t 这表示从范畴 c 到范畴 d 的一个 Functor t

如果把范畴 c 和 d 都限制到 Hask 范畴

class Functor (->) (->) t where
  fmap :: (->) a b -> (->) (t a) (t b)
trait Functor[=>[_, _], =>[_, _], T[_]] {
 def fmap[A, B](c: =>[A, B]): =>[T[A], T[B]]
}

-> 在 Haskell 中是中缀类型构造器,所以是可以写在中间的

这样就会变成我们熟悉的 Funtor 的 Typeclass 这里可以把 Functor 的第一第二个参数消掉, 因为已经知道是在 Hask 范畴了

class Functor t where
  fmap :: (a -> b) -> (t a -> t b)
trait Functor[T[_]] {
 def fmap[A, B](c: A => B): T[A] => T[B]
}

自函子endofunctor 就是这种连接相同范畴的 Functor,因为它从范畴 Hask 到达同样的范畴 Hask

这回看代码就很容易对应上图和概念了, 这里的自函子只是映射范畴 ->->, 箭头函数那个箭头, 类型却变成了 t a

这里的 fmap 就是 T(~>),在 Hask 范畴上,所以是 T(->), 这个箭头是函数,所以也能表示成 T(f) 如果 f:: a -> b

TODO Cat +猫+

递归的, 当我们可以把一个 Category 看成一个 object,functor 看成箭头,那么我们又得到了一个 Category,这种 object 是 category 的 category 我们叫它 – Cat

已经 meow的办法用语言描述这么高维度的事情了,看图吧…

/自然变换Natural Transformations/

Functor 是范畴间的映射,所以在这个 Cat 范畴中, 把范畴看成是对象, 那么 Functor 在 Cat 范畴又是个箭头

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Figure 3: Functor F和G,以及 F 到 G 的自然变化 η

而 Functor 间也有映射,叫做 喵的变换 自然变换

范畴 c 上的函子 f 到 g 的自然变化就可以表示成

type Nat c f g = c (f a) (g a)

Scala 没有 rank n type 别急, 后面马上讲到 , 只能靠 apply 来 meme 了

trait Nat[C[_, _], F[_], G[_]] {
  def apply[A]: C[F[A], G[A]]
}

Hask 范畴上的自然变化就变成了

type NatHask f g = f a -> g a
trait NatHask[F[_], G[_]] {
  def apply[A]: F[A] => G[A]
}

有趣的是, 还可以继续升维度, 比如

  • 东西是函子
  • 箭头是自然变换

恭喜你到达 Functor 范畴.

当然, 要成为范畴,还有两个属性:

  • id 为 f a 到 f a 的自然变换
  • 自然变换的组合
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别着急, 我们来梳理一下,如果已经不知道升了几个维度了,我们假设类型所在范畴是第一维度

  • 一维: Hask, 东西是类型,箭头是 ->
  • 二维: Cat, 东西是 Hask, 箭头是 Functor
  • 三维: Functor范畴, 东西是Functor, 箭头是自然变换

感觉到达三维已经是极限了,尼玛还有完没完了,每升一个维度还要起这么多装逼的名字,再升维度老子就画不出来了

所以这时候, 需要引入 String Diagram。

String Diagram

String Diagram 的概念很简单,就是点变线线变点。

还记得当有了自然变换之后,三个维度已经没法表示了,那原来的点和线都升一维度,变成线和面,这样,就腾出一个点来表示自然变换了。

p1-string-diagram.png
Figure 5: String Diagram:自然变换是点,Functor是线,范畴是面

compose的方向是从右往左,从下到上。

Adjunction Functor 伴随函子

范畴C和D直接有来有回的函子,为什么要介绍这个,因为它直接可以推出 Monad

让我们来看看什么叫有来回。

p1-adjunction-functor.png

其中:

  • 一个范畴 C 可以通过函子 G 到 D,再通过函子 F 回到 C,那么 F 和 G 就是伴随函子。
  • η 是 GF 到 1D 的自然变换
  • ε 是 1C 到 FG 的自然变换

同时根据同构的定义,G 与 F 是 同构 的。

同构指的是若是有

f :: a -> b
f':: b -> a

那么 f 与 f' 同构,因为 f . f' = id = f' . f

伴随函子的 FG 组合是 C 范畴的 id 函子 F . G = 1c

p1-ajunction-functor-compose.png
Figure 7: 伴随函子的两个Functor组合, 左侧为 F η, 右侧为 ε F

Functor 不仅横着可以组合,竖着(自然变换维度)也是可以组合的,因为自然变换是 Functor 范畴的箭头。

p1-ajunction-functor-compose-nat.png
Figure 8: F η . ε F = F

当到组合 F η . ε F 得到一个弯弯曲曲的 F 时,我们可以拽着F的两段一拉,就得到了直的 F。

String Diagram 神奇的地方是所有线都可以拉上下两端,这个技巧非常有用,在之后的单子推导还需要用到。

从伴随函子到 单子 Monad

有了伴随函子,很容易推出单子,让我们先来看看什么是单子

  • 首先,它是一个 endofunctor T
  • 有一个从 ic 到 T 的自然变化 η (eta)
  • 有一个从 T2 到 T 的自然变化 μ (mu)
p1-monad-properties.png
class Endofunctor c t => Monad c t where
  eta :: c a (t a)
  mu  :: c (t (t a)) (t a)
trait Monad[C[_, _], T[_]]] extends Endofunctor[C, T] {
  def eta[A]: C[A, T[A]]
  def mu[A]: C[T[T[A]], T[A]]
}

同样,把 c = Hask 替换进去,就得到更类似我们 Haskell 中 Monad 的定义

class Endofunctor m => Monad m where
  eta :: a -> (m a)
  mu :: m m a -> m a
trait Monad[M[_]] extends Endofunctor[M] {
  def eta[A]: A => M[A]
  def mu[A]: M[M[A]] => M[A]
}

要推出单子的 η 变换,只需要让 FG = T

p1-ajunction-functor-to-monad-eta.png
Figure 10: 伴随函子的 ε 就是单子的 η

同样的,当 FG = T, F η G 就可以变成 μ

p1-ajunction-functor-to-monad-mu.png
Figure 11: 伴随函子的 F η G 是函子的 μ

三角等式

三角等式是指 μ . T η = T = μ . η T

要推出三角等式只需要组合 F η G 和 ε F G

p1-adjunction-functor-triangle.png
Figure 12: F η G . ε F G = F G
p1-monad-triangle.png
Figure 13: F η G . ε F G= F G 对应到Monad就是 μ . η T = T

换到代码上来说

(mu . eta) m = m

同样的,左右翻转也成立

p1-adjunction-functor-triangle-reverse.png
Figure 14: F η G . F G ε = F G

p1-monad-triangle-reverse.png T η 就是 fmap eta

(mu . fmap eta) m = m

如果把 mu . fmap 写成 >>= , 就有了

m >>= eta = m

结合律

单子另一大定律是结合律,让我们从伴随函子推起

假设我们现在有函子 F η G 和 函子 F η G F G, compose 起来会变成 F η G . F η G F G p1-ajunction-functor-monad-laws-1.png

用 F G = T , F η G = μ 代换那么就得到了单子的 μ . μ T p1-ajunction-functor-monad-laws-2.png

当组合 F η G 和 F G F μ G 后,会得到一个镜像的图 p1-ajunction-functor-monad-laws-3.png

对应到单子的 μ . T μ

结合律是说 μ . μ T = μ . T μ , 即图左右翻转结果是相等的,为什么呢?看单子的String Diagram 不太好看出来,我们来看伴随函子

如果把左图的左边的 μ 往上挪一点,右边的 μ 往下挪一点,是不是跟右图就一样了 p1-ajunction-functor-monad-laws-4.png

结合律反映到代码中就是

mu . fmap mu = mu . mu

代码很难看出结合在哪里,因为正常的结合律应该是这样的 (1+2)+3 = 1+(2+3),但是不想加法的维度不一样,这里说的是自然变换维度的结合,可以通过String Diagram 很清楚的看见结合的过程,即 μ 左边的两个T和先 μ 右边两个 T 是相等的。

Yoneda lemma / 米田共 米田引理

米田引理是说所有Functor f a 一定存在 embed 和 unembed,使得 f a(a -> b) -> F b isomorphic 同构

haskell还要先打开 RankNTypes 的 feature

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}

embed :: Functor f => f a -> (forall b . (a -> b) -> f b)
embed x f = fmap f x

unembed :: Functor f => (forall b . (a -> b) -> f b) -> f a
unembed f = f id

Scala 语言没有 Rank N Type支持, 但是 自然变换Natural Transformations 提到过可以用 apply 来模拟. 其实可以使用 Cats 的 FunctionK(~>) 更方便:

def embed[F[_], A](fa: F[A])(implicit f: Functor[F]): (A => ?) ~> F =
  Lambda[(A => ?) ~> F](f.fmap(_)(fa))
def unembed[F[_]](fnk: (A => ?) ~> F): F[A] =
  fnk(identity)

embed 可以把 functor f a 变成 (a -> b) -> f b

unembed 是反过来, (a -> b) -> f b 变成 f a

上个图就明白了

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Figure 15: 也就是说,图中无论知道a->b 再加上任意一个 F x,都能推出另外一个 F

Rank N Type

说好的要解释 Rank N Type

Haskell 中可以不用声明类型, 但是其实是省略掉 universally quantified forall, 如果把 forall 全部加回来, 就明了很多:

  • Monomorphic Rank 0 / 0级单态 也就不是不变态 : t
  • Polymorphic Rank 1 / 1级 变态 多态: forall a b. a -> b
  • Polymorphic Rank 2 / 2级多态: forall c. (forall a b. a -> b) -> c
  • Polymorphic Rank 3 / 3级多态: forall d . (forall c . (forall a b . a -> b) -> c) -> d

看 rank 几只要数左边 forall 的个数就好了.

一级多态只锁定一次类型 a 和 b

二级多态可以分两次确定类型, 第一次确定 c, 第二次确定 a b

三级多台分三次: 第一次 d, 第二次 c, 第三次 a b

比如:

rank2 :: forall b c . b -> c -> (forall a. a -> a) -> (b, c)
rank2 b c f = (f b, f c)

rank2 True 'a' id
-- (True, 'a')
def rank2[B, C](b: B, c: C)(fnk: Id ~> Id): (B, C) =
  (fnk(b), fnk(c))
rank2(true, 'a')(FunctionK.id[Id])
  • f 在 f True 时类型 Boolean -> Boolean 是符合 forall a. a->a
  • 与此同时 f 'a' 时类型确实是 Char -> Char 但也符合 forall a. a->a

如果是 rank1 类型系统就懵逼了:

rank1 :: forall a b c . b -> c -> (a -> a) -> (b, c)
rank1 b c f = (f b, f c)
def rank1[A, B, C](b: B, c: C)(fn: A => A): (B, C) =
  (fn(b), fn(c))

f 在 f True 是确定 a 是 Boolean,在rank1多态是时就确定了 a->a 的类型一定是 Boolean -> Boolean

所以到 f 'a' 类型就挂了。

Kleisli Catergory

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Figure 16: 注意观察大火箭 <=< 的轨迹(不知道dot为什么会把这根线搞这么又弯又骚的) 和 >>= 。所以 Kleisli 其实就是斜着走的一个范畴,但是 >>= 把它硬生生掰 直了。

函子Functor 的范畴叫做 函子范畴Functor Catergory, 自然变换是其箭头。那单子Monad也可以定义一个范畴吗? 当然, 单子是自函子,所以也可以是自函子范畴

是的, 这个范畴名字叫做 单子范畴 怎么说也是函数式编程的核心,怎么可以叫的这么low这么直接 可莱斯利范畴Kleisli Catergory 这个是我瞎翻译的, 但是读出来就是这么个意思, 真的, 不骗你, 照这么读绝对装的一手好逼, 不会被嘲笑的 ,那么 Kleisli 的箭头是什么? 我们看定义,Kleisli Catergory

  1. 箭头是 Kleisli 箭头 a -> T b
  2. 东西就是c范畴中的东西. 因为 a 和 b 都是 c 范畴上的, 由于T是自函子,所以 T b 也是 c 范畴的

看到图上的 T f fmap f 和 μ 了没? (敲黑板) 就是紫色那根嘛!

f :: b -> T c
fmap f :: T b -> T T c
mu :: T T c -> T c
def f[T[_], B, C](b: B): T[C]
def fmap[T[_], B, C](f: B => C)(tb: T[B]): T[T[C]]
def mu[T[_], C](ttc: T[T[C]]): T[C]

紫色的箭头 T ffmap f 和紫色的虚线箭头 μ 连起来就是 T f', 那么最出名的 >>= 符号终于出来了:

tb >>= f = (mu . fmap f) tb
def flatMap[T[_], B, C](f: B => T[C])(tb: T[B]): T[C] = (mu compose fmap(f))(tb)

下面这个大火箭 <=< 可以把蓝色箭头组合起来.

(f <=< g) = mu . T f . g = mu . fmap f . g
def <=<[T[_], A, B, C](f: B => T[C])(g: A => T[B]): A => T[C] =
  mu compose fmap(f) compose g

因此大火箭就是 Kleisli 范畴的 compose

(<=<) :: Monad T => (b -> T c) -> (a -> T b) -> (a -> T c)

Summary

第一部分理论部分都讲完了, 如果你读到这里还没有被这些吊炸天乱七八糟的概念搞daze,接下来可以看看它到底跟我们编程有鸟关系呢?第二部分将介绍这些概念产生的一些实用的monad

当然我还没空全部写完,如果有很多人预定只要998 Gumroad 上的 Grokking Monad 电子书的话,我可能会稍微写得快一些。毕竟,写了也没人感兴趣也怪浪费时间的。不过,我猜也没几个人能看到这一行,就当是自言自语吧,怎么突然觉得自己好分裂。

Footnotes:

2

如果没看就刚好不要看了, 确实有些误导

3

等等, 写前端怎么了? JavaScript 只是我觉得顺手的若干语言之一, JS用户那么多, 写书当然要用 JS 啦, 难道用 Idris 那还能卖得掉吗? 当然最后用JS也没怎么卖掉…

4

并不是说这两门语言一定在鄙视链顶端, 而是拥有强大类型系统的语言才能体现出范畴论的内容

5

这里可以把 Functor 的第一第二个参数消掉, 因为已经知道是在 Hask 范畴了

6

别急, 后面马上讲到

7

也就不是不变态

8

当然, 单子是自函子,所以也可以是自函子范畴

9

怎么说也是函数式编程的核心,怎么可以叫的这么low这么直接

10

这个是我瞎翻译的, 但是读出来就是这么个意思, 真的, 不骗你, 照这么读绝对装的一手好逼, 不会被嘲笑的

11

(敲黑板) 就是紫色那根嘛!

12

fmap f